一元二次方程解法推导(一元二次方程的解法推导)

本文目录

1. 一元2次方程实际问题公式？
2. 二元一次方程判别式的推导？
3. 一元二次函数标准式推导？
4. 一元二次方程 求根公式？
5. 一元二次方程增长率的计算公式推导过程？

一元2次方程实际问题公式？

一元二次方程公式

ax2+bx+c=0（a≠0）

一元二次方程的求根公式推导

一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）。我们可以通过 *** 法；来求方程的根。

首先，将方程两边都同时除以首项系数a，得：

x2+b/ax+c/a=0

这个c/a很麻烦，把它移到右边：

x2+b/ax=-c/a

我们知道二项式定理

（A+ *** )2=A2+ *** 2+2A ***

我们可以把

x2+b/ax=-c/a改成A2+ *** 2+2A *** 的形式，也就是把x当成A，b/ax当成2A *** ，到时候在两边都加上 *** 2 。

补充

一元二次方程判别式推导

现在，我们已经得到了求根公式。方程的两个根的 *** 区别就是后面的根号下b2-4ac，一个是+，一个是-。那么我们要判断这两个根的情况，就要令Δ=b2-4ac来进行比较。

当Δ>0的时候，即b2-4ac>0，那么根号下b2-4ac也大于0，这两个数差了两个根号下b2-4ac，差了两个大于0的数，那么这两个数是不等的；又因为这个方程的系数都是实数，所以我们得到：

当Δ>0的时候，方程有两个不等的实数根。

当Δ=0的时候，即b2-4ac=0，那么根号下b2-4ac也等于0，差了两个等于0的数，那么这两个数就是相等的；又因为这个方程的系数都是实数，所以我们得到：

当Δ=0的时候，方程有两个相等的实数根。

当Δ<0的时候，即b2-4ac<0，那么根号下b2-4ac就是给一个负数开方，也就是一个复数，那么这两个数也就是不等的复数，并且差了两个根号下b2-4ac，-b后面的符号相反，所以这两个复数就是共轭的；所以我们得到：

当Δ<0的时候，方程有两个共轭的复数根。

这样我们就得到了一元二次方程的判别式。

扩展

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的 *** 高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

一元二次方程成立必须同时满足三个条件

①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数；

③未知数项的 *** 高次数是2。

二元一次方程判别式的推导？

应该是一元二次方程根的判别式推导。推导过程是:先把常数项移到方程右边，两边都除以二次项系数，然后方程两边都加一次项系数一半的平方，把方程左边配成完全平方，方程右边必须是非负数，从而推到出了根的判别式。

一元二次函数标准式推导？

1二次函数顶点坐标公式推导过程

二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)

推导过程：

y=ax^2+bx+c

y=a(x^2+bx/a+c/a)

y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)

y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a

y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a

对称轴x=-b/2a

顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

2一元二次函数的性质

(1)二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

(2)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

(3)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

(4)常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)。

当c>0时，图像与y轴正半轴相交。

当c<0时，图像与y轴负半轴相交。

3一元二次函数图像的对称关系

(一)对于一般式：

①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称

②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称

③y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx+c-b2/2a关于顶点对称

④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于 *** 中心对称。(即绕 *** 旋转180度后得到的图形)

(二)对于顶点式：

①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称，即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。

②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称，即顶点(h,k)和(h,-k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。

③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称，即顶点(h,k)和(h,k)相同，开口方向相反。

④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于 *** 对称，即顶点(h,k)和(-h,-k)关于 *** 对称，横坐标、纵坐标都相反。

一元二次方程 求根公式？

1、一元二次方程的求根公式，将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行 *** ，当b2－4ac≥0时的根为x=（-b±√（b*b-4ac））/2a， 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法。(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用 *** 法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式。

2、一元二次方程的根的判别式

（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根x=（-b±√（b*b-4ac））/2a；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=-b/2a；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根。

一元二次方程增长率的计算公式推导过程？

增长率问题是一元二次方程的一个典型类型题。关键是掌握公式，增长率公式：期初数×（1+增长率)^n=期末数。

当n=2时，就是一元二次方程增长率问题的公式。例如：（上海2001年中考题）

某电脑公司200年的各项经营收入中，经营电脑配件收入为600万元，占全年经营中收入的40%，该公司预计2002年经营中收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营中收入的年增长率相同，问2001年预计经营中收入为多少万元？

这类增长率问题不论多复杂，还是应用公式：

期初数×（1+增长率)^2=期末数，

本题的期初数=600÷40%=1500(万元）。一般这类问题，不论问什么，都要

设：每年平均增长率为x.(注意不要设为x%）。

本题期末数为：2160万元。

带入公式即可：

1500?（1+x)^2=2160

解得：x1=20%

x2=220%(不合题意，舍去）

1500×（1+20%)=1800（万元）

答：2001年预计经营中收入为1800万元。

相同的还有降低率问题，以一元二次方程公式为例：

期初数×（1-降低率)^2=期末数，

其它完全一样。